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第一周 第一讲 对弧长的曲线积分的概念与计算
1、 设有点
和
,
为线段
组成的闭曲线,则曲线积分
的值为 ( ).
A:
B:
C:1
D:0
答案:
2、 设
为曲线段
,则
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 设半圆
形状的曲线在
处的密度为
,则曲线关于
轴的转动惯量为( ).
A:
B:0
C:
D:1
答案:
4、 设
是圆周
在第一象限内的部分,则
的值为( ).
A:5
B:1
C:-1
D:-5
答案: 5
5、 设
为星形线
,则
的值为 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 空间曲线
上从点
到点
的弧长为( ).
A:5
B:
C:
D:
答案: 5
7、 设
为圆周
,则
的值为 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
8、 设曲线
为球面
与平面
的交线,则
的值为 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
9、 若被积函数
,则
表示曲线
的弧长.
A:正确
B:错误
答案: 正确
10、
A:正确
B:错误
答案: 错误
11、 对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.
A:正确
B:错误
答案: 正确
12、 若被积函数
,则关于弧长的曲线积分
表示线密度为
的曲线型构件的质量.
A:正确
B:错误
答案: 正确
13、 如果曲线
的方程为
,则
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
14、 如果曲线
的方程为
,则
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
15、 设曲线
由
两段曲线组成,若函数
在曲线
上的积分存在,则有
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
第一周 第二讲 对坐标的曲线积分的概念与计算
1、 设
为由
到
的直线段,则
( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设
为圆周
上对应
从0到
的一段弧,则
( ).
A:0
B:
C:
D:1
答案: 0
3、
为圆周
(方向取逆时针),则
( ).
A:
B:
C:0
D:1
答案:
4、 设
为从点
到点
的直线段,则
( ).
A:13
B:12
C:0
D:10
答案: 13
5、 设
是由直线
所围成的按逆时针绕行的矩形回路,则
( ).
A:-8
B:8
C:0
D:1
答案: -8
6、 设
为平面
内直线
上的一段,则
( ).
A:0
B:-1
C:-2
D:2
答案: 0
7、 设
为
上从
到
的一段弧,则
( ).
A:
B:
C:0
D:-1
答案:
8、 设C为依逆时针方向沿椭圆
一周的路径,则
=( ).
A:
B:
C:0
D:1
答案:
9、 设
为从点
到点
的一直线段,则
( ).
A:11
B:
C:14
D:
答案: 11
10、 为先沿直线从点
到点
,然后再沿直线到点
的折线,则
( ).
A:
B:
C:
D:11
答案:
11、
曲线
上从点
到点
的一段弧,则
( ).
A:
B:
C:11
D:14
答案:
12、 第二类型曲线积分与积分曲线的方向无关.
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 当改变积分曲线方向时,第二类型曲线积分将改变符号.
A:正确
B:错误
答案: 正确
14、 设
是有向曲线弧,
是与
方向相反的有向曲线弧,则
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
15、 设
由
和
两段光滑曲线组成,则有
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
16、 如果曲线
的方程为
起点对应
, 终点对应
,则
A:正确
B:错误
答案: 正确
17、
A:正确
B:错误
答案: 错误
18、 在对坐标的曲线积分定义中,定义
,其中
,且式中极限与积分曲线的
分法和点
的取法无关.
A:正确
B:错误
答案: 正确
19、 设曲线
起点A对应的参数为
,终点B对应的参数为
,则
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
20、 设曲线
为有向光滑曲线,则一定有
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
21、 在将曲线积分化为定积分时,第一类曲线积分和第二类曲线积分对定积分上下限的要求是一致的.
A:正确
B:错误
答案: 错误
第一周 第三讲 格林公式
1、 设
为一条不过原点且不包含原点的光滑闭曲线,则
的值为( ).
A:0
B:
C:
D:
答案: 0
2、 设
为一条不过原点且包含原点在内的光滑闭曲线,则
的值为( ).
A:
B:0
C:
D:
答案:
3、 设L为圆周
上由
到
的一段弧,则
的值为( ).
A:
B:
C:0
D:2
答案:
4、 设
是单位圆
从点
到点
的上半圆周,则
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 使格林公式
成立的闭区域D( ).
A:为单连通或多连通区域
B:仅为单连通区域
C:仅为多连通区域
D:仅为简单区域
答案: 为单连通或多连通区域
6、 设
是圆周
,方向为逆时针方向,则
用格林公式计算可化为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
7、 设
是圆周
,方向取顺时针方向,则
的值为( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
8、 设
为圆周
上从
到
再到
的曲线段,则
的值为( ).
A:0
B:
C:
D:
答案: 0
9、 设闭区域
是由分段光滑的闭曲线
所围成, 函数
在
上有一阶连续偏导数,则
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
10、 设
为正向星形线
,则由格林公式有
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
11、 设
是椭圆
的正向,则由格林公式可知
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
12、 若区域
内存在一条简单闭曲线,其所围的部分均在区域
内,则称
为平面单连通区域.
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 设D是由曲线
所围成的闭区域,函数
. 因为
,所以由格林公式有
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
14、 设
为
平面的有界闭区域,其边界
为光滑或分段光滑曲线,则区域
的面积
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
第二周 第四讲 积分与路径无关条件
1、 下列
平面上的力场中,为保守力场的是( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设
是以
为起点、
为终点的曲线段, 则
等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、
沿以
为起点、
为终点的路径所作的功可表示为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
4、 设
是从点
到点
的直线段,则
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 向量场
的势函数为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 微分方程
的通解为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
7、 设
是上半圆周
上从点
到点
的圆弧,则曲线积分
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
8、 若
为保守力场,则它沿场中任何一条封闭的光滑曲线所作的功均为零.
A:正确
B:错误
答案: 正确
9、 只要在区域
上有
成立,则向量场
必为区域
上的保守场.
A:正确
B:错误
答案: 错误
10、 曲线积分
的值只与起点和终点的位置有关,而与积分的路径无关.
A:正确
B:错误
答案: 正确
11、 方程
是全微分方程.
A:正确
B:错误
答案: 错误
12、
是整个平面区域上的保守向量场.
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 若函数
为
的原函数,则
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
14、 设函数
,其中积分路径是从
到
的某一条光滑曲线,则有
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
第二周 第五讲 对面积的曲面积分的概念与计算
1、 设
为圆柱面
夹在平面
之间的部分,则曲面
面积为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设
是锥面
,则
等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 设
为曲面
,则
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
4、 设
是曲面
,则下列各式正确的是( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 设
为曲面
在
平面上方的部分,则
( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 设
为上半球面
,则
( ).
A:
B:0
C:
D:
答案:
7、 设
为平面
在第一卦限部分,则
的值为( ).
A:
B:0
C:
D:
答案:
8、 若
存在一阶连续偏导数,则曲面
一定存在有限面积.
A:正确
B:错误
答案: 错误
9、 设函数
在光滑曲面
上连续,且
,则
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
10、 设函数
在光滑曲面
上连续,
为曲面
的面积,若存在常数
使得
,则有
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
11、 设
为
平面上的有界闭区域,函数
在
上连续,则二重积分
等于对面积的曲面积分
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
12、 设
为球面
,
为
在
面上的投影区域, 函数
在
上连续,则有
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 设
是球面
,则曲面积分
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
第二周 第六讲 对坐标的曲面积分的概念与计算
1、 设有曲面
,其外法线与
正向夹角成锐角, 则
等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设
为旋转抛物面
介于
和
之间部分的下侧,则
等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 设是
由平面
,
,
,
所围成的四面体的边界,外法线为其正向,则曲面积分
等于( ).
A:0
B:1
C:
D:
答案: 0
4、 设曲面
为球面
,其法向指向外侧,则
等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 设
为曲面
,其法向指向上侧,则对坐标的曲面积分
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
6、 曲面积分
在数值上等于流速场
穿过曲面
的流量.
A:正确
B:错误
答案: 正确
7、 设
为球面
, 其法向量指向外侧,则
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
8、 设
为球面
的外侧,
为球面
在
上的投影区域,则
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
9、 如果光滑曲面
在
平面上的投影是一条曲线,函数
在
上连续,则
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
第三周 第七讲 高斯公式
1、 设立方体
的内切球面的内侧为,则曲面积分
的值为( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
2、 设
为上半球面
的上侧,则曲面积分
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 流速场
穿过曲面
外侧的流量
等于( ).
A:0
B:
C:
D:
答案: 0
4、 设曲面
为
介于曲面
之间的部分,则流速为
的流体流过曲面
下侧的流量
等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 由分片光滑的封闭曲面
所围成的立体的体积
等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 设
是由柱面
及平面
所围成的立体表面的外侧, 则曲面积分
的值为( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
7、 设
是旋转抛物面
的外侧,则曲面积分
的值为( ).
A:
B:
C:
D:0
答案:
8、 设空间区域
由分片光滑的闭曲面
所围成,函数
在
上连续,且有一阶连续偏导数,则有
=
其中
为曲面
的外侧法向量的方向余弦.
A:正确
B:错误
答案: 正确
9、 设
是光滑闭曲面
的外法向量的方向余弦,
所围成的空间闭区域为
,则有
成立.
A:正确
B:错误
答案: 错误
10、 只要
是光滑的闭曲面,就一定有
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
11、 设
为球面
的外侧,则
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
12、 设空间区域
由分片光滑的闭曲面
所围成,
的方向取内侧,函数
在
上连续,且有一阶连续偏导数,则有
=
A:正确
B:错误
答案: 正确
13、 流速场
通过上半球面
上侧的流量
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
14、 向量场
的散度为
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
第三周 第八讲 斯托克司公式
1、 设
, 则
( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
2、 设向量场
,则
( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
3、
为圆周
,若从
轴正向看去,
为逆时针方向,
( ).
A:
B:
C:1
D:0
答案:
4、
,
为上半球面
的上侧,
是
的外单位法向量,曲面积分
( ).
A:0
B:
C:4
D:1
答案: 0
5、
为平面
与三个坐标面的交线,从
轴正向看去
为逆时针方向,则
( ).
A:-2
B:2
C:1
D:-1
答案: -2
6、 设
是从点
到点
再到
最后回到
的三角形边界(
),则
( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
7、 设
为圆周
,若从
轴正向看去,
为逆时针方向.则
( ).
A:
B:
C:
D:0
答案:
8、
为圆周
,若从
轴正向看去,
为逆时针方向,
( ).
A:
B:
C:1
D:0
答案:
9、 1、利用两类曲面积分之间的关系,斯托克斯公式可写成如下形式:
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
10、 设
是平面
截立方体
的表面所得的截痕,且从
轴的正向看去为逆时针方向,则曲线积分
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
11、 向量场
在点
处的旋度
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
12、 设一刚体以等角速度
绕定轴
旋转,刚体内任意一点
的线速度
的旋度
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
第三周 第九讲 向量场的微积分基本定理
1、 函数
的梯度为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设
,则
在点
处的旋度为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 设
是三坐标面与平面
(
均为正常数)所围的封闭曲面的外侧,则积分
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
4、 设
为曲面
介于平面
之间的部分,则流速为
的流体流过曲面
下侧的流量为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 设曲线
是柱面
与平面
的交线,从
轴的正向往
轴的负向看去为逆时针方向,则曲线积分
等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 设
是锥面
在
中部分的外侧,则曲面积分
的值等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
7、 设
为曲面
被平面
截下的部分,其法向量与
轴正向的夹角为钝角,则曲面积分
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
8、 向量场
的散度为( ).
A:
B:
C:1
D:0
答案:
9、 设
是平面
上抛物线
绕
轴旋转得到的旋转曲面和平面
所围封闭曲面的外侧,则曲面积分
的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
10、 设曲面
的方程为
,则
等于( ).
A:
B:
C:
D:0
答案:
11、 设
为光滑的闭曲面,则
.
A:正确
B:错误
答案: 正确
12、 向量场
在点
处的旋度
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 设D为曲线
所围成的闭区域,由于
,故
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
14、 若
的分量函数存在二阶偏导数,则向量场
的旋度的散度恒为零.
A:正确
B:错误
答案: 正确
15、 设
是三坐标面与平面
(
均为正常数)所围的封闭曲面的外侧,则积分
.
A:正确
B:错误
答案: 错误
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