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第一周 第一讲 对弧长的曲线积分的概念与计算
1、 设有点 和 , 为线段 组成的闭曲线,则曲线积分 的值为 ( ).
A:
B:
C:1
D:0
答案:
2、 设 为曲线段 ,则 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 设半圆 形状的曲线在 处的密度为 ,则曲线关于 轴的转动惯量为( ).
A:
B:0
C:
D:1
答案:
4、 设 是圆周 在第一象限内的部分,则 的值为( ).
A:5
B:1
C:-1
D:-5
答案: 5
5、 设 为星形线 ,则 的值为 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 空间曲线 上从点 到点 的弧长为( ).
A:5
B:
C:
D:
答案: 5
7、 设 为圆周 ,则 的值为 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
8、 设曲线 为球面 与平面 的交线,则 的值为 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
9、 若被积函数 ,则 表示曲线 的弧长.
A:正确
B:错误
答案: 正确
10、
A:正确
B:错误
答案: 错误
11、 对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.
A:正确
B:错误
答案: 正确
12、 若被积函数 ,则关于弧长的曲线积分 表示线密度为 的曲线型构件的质量.
A:正确
B:错误
答案: 正确
13、 如果曲线 的方程为 ,则 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
14、 如果曲线 的方程为 ,则 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
15、 设曲线 由 两段曲线组成,若函数 在曲线 上的积分存在,则有 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
第一周 第二讲 对坐标的曲线积分的概念与计算
1、 设 为由 到 的直线段,则 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设 为圆周 上对应 从0到 的一段弧,则 ( ).
A:0
B:
C:
D:1
答案: 0
3、 为圆周 (方向取逆时针),则 ( ).
A:
B:
C:0
D:1
答案:
4、 设 为从点 到点 的直线段,则 ( ).
A:13
B:12
C:0
D:10
答案: 13
5、 设 是由直线 所围成的按逆时针绕行的矩形回路,则 ( ).
A:-8
B:8
C:0
D:1
答案: -8
6、 设 为平面 内直线 上的一段,则 ( ).
A:0
B:-1
C:-2
D:2
答案: 0
7、 设 为 上从 到 的一段弧,则 ( ).
A:
B:
C:0
D:-1
答案:
8、 设C为依逆时针方向沿椭圆 一周的路径,则 =( ).
A:
B:
C:0
D:1
答案:
9、 设 为从点 到点 的一直线段,则 ( ).
A:11
B:
C:14
D:
答案: 11
10、 为先沿直线从点 到点 ,然后再沿直线到点 的折线,则 ( ).
A:
B:
C:
D:11
答案:
11、 曲线 上从点 到点 的一段弧,则 ( ).
A:
B:
C:11
D:14
答案:
12、 第二类型曲线积分与积分曲线的方向无关.
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 当改变积分曲线方向时,第二类型曲线积分将改变符号.
A:正确
B:错误
答案: 正确
14、 设 是有向曲线弧, 是与 方向相反的有向曲线弧,则 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
15、 设 由 和 两段光滑曲线组成,则有 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
16、 如果曲线 的方程为 起点对应 , 终点对应 ,则
A:正确
B:错误
答案: 正确
17、
A:正确
B:错误
答案: 错误
18、 在对坐标的曲线积分定义中,定义 ,其中 ,且式中极限与积分曲线的 分法和点 的取法无关.
A:正确
B:错误
答案: 正确
19、 设曲线 起点A对应的参数为 ,终点B对应的参数为 ,则 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
20、 设曲线 为有向光滑曲线,则一定有 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
21、 在将曲线积分化为定积分时,第一类曲线积分和第二类曲线积分对定积分上下限的要求是一致的.
A:正确
B:错误
答案: 错误
第一周 第三讲 格林公式
1、 设 为一条不过原点且不包含原点的光滑闭曲线,则 的值为( ).
A:0
B:
C:
D:
答案: 0
2、 设 为一条不过原点且包含原点在内的光滑闭曲线,则 的值为( ).
A:
B:0
C:
D:
答案:
3、 设L为圆周 上由 到 的一段弧,则 的值为( ).
A:
B:
C:0
D:2
答案:
4、 设 是单位圆 从点 到点 的上半圆周,则 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 使格林公式 成立的闭区域D( ).
A:为单连通或多连通区域
B:仅为单连通区域
C:仅为多连通区域
D:仅为简单区域
答案: 为单连通或多连通区域
6、 设 是圆周 ,方向为逆时针方向,则 用格林公式计算可化为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
7、 设 是圆周 ,方向取顺时针方向,则 的值为( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
8、 设 为圆周 上从 到 再到 的曲线段,则 的值为( ).
A:0
B:
C:
D:
答案: 0
9、 设闭区域 是由分段光滑的闭曲线 所围成, 函数 在 上有一阶连续偏导数,则 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
10、 设 为正向星形线 ,则由格林公式有 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
11、 设 是椭圆 的正向,则由格林公式可知 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
12、 若区域 内存在一条简单闭曲线,其所围的部分均在区域 内,则称 为平面单连通区域.
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 设D是由曲线 所围成的闭区域,函数 . 因为 ,所以由格林公式有 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
14、 设 为 平面的有界闭区域,其边界 为光滑或分段光滑曲线,则区域 的面积 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
第二周 第四讲 积分与路径无关条件
1、 下列 平面上的力场中,为保守力场的是( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设 是以 为起点、 为终点的曲线段, 则 等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 沿以 为起点、 为终点的路径所作的功可表示为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
4、 设 是从点 到点 的直线段,则 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 向量场 的势函数为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 微分方程 的通解为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
7、 设 是上半圆周 上从点 到点 的圆弧,则曲线积分 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
8、 若 为保守力场,则它沿场中任何一条封闭的光滑曲线所作的功均为零.
A:正确
B:错误
答案: 正确
9、 只要在区域 上有 成立,则向量场 必为区域 上的保守场.
A:正确
B:错误
答案: 错误
10、 曲线积分 的值只与起点和终点的位置有关,而与积分的路径无关.
A:正确
B:错误
答案: 正确
11、 方程 是全微分方程.
A:正确
B:错误
答案: 错误
12、 是整个平面区域上的保守向量场.
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 若函数 为 的原函数,则 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
14、 设函数 ,其中积分路径是从 到 的某一条光滑曲线,则有 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
第二周 第五讲 对面积的曲面积分的概念与计算
1、 设 为圆柱面 夹在平面 之间的部分,则曲面 面积为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设 是锥面 ,则 等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 设 为曲面 ,则 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
4、 设 是曲面 ,则下列各式正确的是( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 设 为曲面 在 平面上方的部分,则 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 设 为上半球面 ,则 ( ).
A:
B:0
C:
D:
答案:
7、 设 为平面 在第一卦限部分,则 的值为( ).
A:
B:0
C:
D:
答案:
8、 若 存在一阶连续偏导数,则曲面 一定存在有限面积.
A:正确
B:错误
答案: 错误
9、 设函数 在光滑曲面 上连续,且 ,则 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
10、 设函数 在光滑曲面 上连续, 为曲面 的面积,若存在常数 使得 ,则有 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
11、 设 为 平面上的有界闭区域,函数 在 上连续,则二重积分 等于对面积的曲面积分 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
12、 设 为球面 , 为 在 面上的投影区域, 函数 在 上连续,则有 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 设 是球面 ,则曲面积分 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
第二周 第六讲 对坐标的曲面积分的概念与计算
1、 设有曲面 ,其外法线与 正向夹角成锐角, 则 等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设 为旋转抛物面 介于 和 之间部分的下侧,则 等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 设是 由平面 , , , 所围成的四面体的边界,外法线为其正向,则曲面积分 等于( ).
A:0
B:1
C:
D:
答案: 0
4、 设曲面 为球面 ,其法向指向外侧,则 等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 设 为曲面 ,其法向指向上侧,则对坐标的曲面积分 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
6、 曲面积分 在数值上等于流速场 穿过曲面 的流量.
A:正确
B:错误
答案: 正确
7、 设 为球面 , 其法向量指向外侧,则 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
8、 设 为球面 的外侧, 为球面 在 上的投影区域,则 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
9、 如果光滑曲面 在 平面上的投影是一条曲线,函数 在 上连续,则 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
第三周 第七讲 高斯公式
1、 设立方体 的内切球面的内侧为,则曲面积分 的值为( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
2、 设 为上半球面 的上侧,则曲面积分 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 流速场 穿过曲面 外侧的流量 等于( ).
A:0
B:
C:
D:
答案: 0
4、 设曲面 为 介于曲面 之间的部分,则流速为 的流体流过曲面 下侧的流量 等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 由分片光滑的封闭曲面 所围成的立体的体积 等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 设 是由柱面 及平面 所围成的立体表面的外侧, 则曲面积分 的值为( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
7、 设 是旋转抛物面 的外侧,则曲面积分 的值为( ).
A:
B:
C:
D:0
答案:
8、 设空间区域 由分片光滑的闭曲面 所围成,函数 在 上连续,且有一阶连续偏导数,则有 = 其中 为曲面 的外侧法向量的方向余弦.
A:正确
B:错误
答案: 正确
9、 设 是光滑闭曲面 的外法向量的方向余弦, 所围成的空间闭区域为 ,则有 成立.
A:正确
B:错误
答案: 错误
10、 只要 是光滑的闭曲面,就一定有 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
11、 设 为球面 的外侧,则 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
12、 设空间区域 由分片光滑的闭曲面 所围成, 的方向取内侧,函数 在 上连续,且有一阶连续偏导数,则有 =
A:正确
B:错误
答案: 正确
13、 流速场 通过上半球面 上侧的流量 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
14、 向量场 的散度为 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
第三周 第八讲 斯托克司公式
1、 设 , 则 ( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
2、 设向量场 ,则 ( ).
A:
B:
C:0
D:
答案:
3、 为圆周 ,若从 轴正向看去, 为逆时针方向, ( ).
A:
B:
C:1
D:0
答案:
4、 , 为上半球面 的上侧, 是 的外单位法向量,曲面积分 ( ).
A:0
B:
C:4
D:1
答案: 0
5、 为平面 与三个坐标面的交线,从 轴正向看去 为逆时针方向,则 ( ).
A:-2
B:2
C:1
D:-1
答案: -2
6、 设 是从点 到点 再到 最后回到 的三角形边界( ),则 ( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
7、 设 为圆周 ,若从 轴正向看去, 为逆时针方向.则 ( ).
A:
B:
C:
D:0
答案:
8、 为圆周 ,若从 轴正向看去, 为逆时针方向, ( ).
A:
B:
C:1
D:0
答案:
9、 1、利用两类曲面积分之间的关系,斯托克斯公式可写成如下形式: .
A:正确
B:错误
答案: 正确
10、 设 是平面 截立方体 的表面所得的截痕,且从 轴的正向看去为逆时针方向,则曲线积分 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
11、 向量场 在点 处的旋度 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
12、 设一刚体以等角速度 绕定轴 旋转,刚体内任意一点 的线速度 的旋度 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
第三周 第九讲 向量场的微积分基本定理
1、 函数 的梯度为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
2、 设 ,则 在点 处的旋度为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
3、 设 是三坐标面与平面 ( 均为正常数)所围的封闭曲面的外侧,则积分 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
4、 设 为曲面 介于平面 之间的部分,则流速为 的流体流过曲面 下侧的流量为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
5、 设曲线 是柱面 与平面 的交线,从 轴的正向往 轴的负向看去为逆时针方向,则曲线积分 等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
6、 设 是锥面 在 中部分的外侧,则曲面积分 的值等于( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
7、 设 为曲面 被平面 截下的部分,其法向量与 轴正向的夹角为钝角,则曲面积分 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
8、 向量场 的散度为( ).
A:
B:
C:1
D:0
答案:
9、 设 是平面 上抛物线 绕 轴旋转得到的旋转曲面和平面 所围封闭曲面的外侧,则曲面积分 的值为( ).
A:
B:
C:
D:
答案:
10、 设曲面 的方程为 ,则 等于( ).
A:
B:
C:
D:0
答案:
11、 设 为光滑的闭曲面,则 .
A:正确
B:错误
答案: 正确
12、 向量场 在点 处的旋度 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
13、 设D为曲线 所围成的闭区域,由于 ,故 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
14、 若 的分量函数存在二阶偏导数,则向量场 的旋度的散度恒为零.
A:正确
B:错误
答案: 正确
15、 设 是三坐标面与平面 ( 均为正常数)所围的封闭曲面的外侧,则积分 .
A:正确
B:错误
答案: 错误
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